c语言算法 - 分而治之算法 - 距离最近的点对

给定n个点（xi，yi）（1≤i≤n），要求找出其中距离最近的两个点。

例14-7 假设在一片金属上钻n个大小一样的洞，如果洞太近，金属可能会断。若知道任意两个洞的最小距离，可估计金属断裂的概率。这种最小距离问题实际上也就是距离最近的点对问题。

通过检查所有的n(n- 1 ) / 2对点，并计算每一对点的距离，可以找出距离最近的一对点。这种方法所需要的时间为(n2 )。我们称这种方法为直接方法。图1 4 - 1 3中给出了分而治之求解算法的伪代码。该算法对于小的问题采用直接方法求解，而对于大的问题则首先把它划分为两个较小的问题，其中一个问题（称为A）的大小为「n /2ù，另一个问题（称为B）的大小为「n /2ù。初始时，最近的点对可能属于如下三种情形之一： 1) 两点都在A中（即最近的点对落在A中）；2) 两点都在B中；3) 一点在A，一点在B。假定根据这三种情况来确定最近点对，则最近点对是所有三种情况中距离最小的一对点。在第一种情况下可对A进行递归求解，而在第二种情况下可对B进行递归求解。

if (n较小) {用直接法寻找最近点对

R e t u r n ; }

// n较大

将点集分成大致相等的两个部分A和B

确定A和B中的最近点对

确定一点在A中、另一点在B中的最近点对

从上面得到的三对点中，找出距离最小的一对点

图14-13 寻找最近的点对

为了确定第三种情况下的最近点对，需要采用一种不同的方法。这种方法取决于点集是如何被划分成A、B的。一个合理的划分方法是从xi（中间值）处划一条垂线，线左边的点属于A，线右边的点属于B。位于垂线上的点可在A和B之间分配，以便满足A、B的大小。

例2-8 考察图14-14a 中从a到n的1 4个点。这些点标绘在图14-14b 中。中点xi = 1，垂线x = 1如图14-14b 中的虚线所示。虚线左边的点(如b, c, h, n, i)属于A，右边的点(如a, e, f, j, k, l) 属于B。d, g, m 落在垂线上，可将其中两个加入A, 另一个加入B，以便A、B中包含相同的点数。假设d ,m加入A，g加入B。

设是i的最近点对和B的最近点对中距离较小的一对点。若第三种情况下的最近点对比小。则每一个点距垂线的距离必小于，这样，就可以淘汰那些距垂线距离≥的点。图1 4 - 1 5中的虚线是分割线。阴影部分以分割线为中线，宽为2 。边界线及其以外的点均被淘汰掉，只有阴影中的点被保留下来，以便确定是否存在第三类点对（对应于第三种情况）其距离小于。用RA、RB 分别表示A和B中剩下的点。如果存在点对(p,q)，p?A, q?B且p, q的距离小于，则p?RA，q?RB。可以通过每次检查RA 中一个点来寻找这样的点对。假设考察RA 中的p 点，p的y 坐标为p.y，那么只需检查RB 中满足p.y- ＜q.y＜p.y+的q 点，看是否存在与p 间距小于的点。在图14-16a 中给出了包含这种q 点的RB的范围。因此，只需将RB 中位于×2 阴影内的点逐个与p 配对，以判断p 是否是距离小于的第三类点。这个×2 区域被称为是p的比较区（comparing region）。

例2-9 考察例2 - 8中的1 4个点。A中的最近点对为(b,h)，其距离约为0 . 3 1 6。B中最近点对为(f, j)，其距离为0 . 3，因此= 0 . 3。当考察是否存在第三类点时，除d, g, i, l, m 以外的点均被淘汰，因为它们距分割线x= 1的距离≥ 。RA ={d, i, m}，RB= {g, l}，由于d 和m的比较区中没有点，只需考察i即可。i的比较区中仅含点l。计算i 和l的距离，发现它小于，因此(i, l) 是最近的点对。

为了确定一个距离更小的第三类点，RA 中的每个点最多只需和RB 中的6个点比较，如图1 4 - 1 6所示。