C++中的23种算法
2012-05-29 11:10:16 来源:WEB开发网return 0;
}
23.数字拆解
说明
这个题目来自于数字拆解,我将之改为C语言的版本,并加上说明。
题目是这样的:
3 = 2+1 = 1+1+1 所以3有三种拆法
4 = 3 + 1 = 2 + 2 = 2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 共五种
5 = 4 + 1 = 3 + 2 = 3 + 1 + 1 = 2 + 2 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 +1 +1 +1
共七种
依此类推,请问一个指定数字NUM的拆解方法个数有多少个?
解法
我们以上例中最后一个数字5的拆解为例,假设f( n )为数字n的可拆解方式个数,而f(x, y)为使
用y以下的数字来拆解x的方法个数,则观察:
5 = 4 + 1 = 3 + 2 = 3 + 1 + 1 = 2 + 2 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 +1 +1 +1
使用函式来表示的话:
f(5) = f(4, 1) + f(3,2) + f(2,3) + f(1,4) + f(0,5)
其中f(1, 4) = f(1, 3) + f(1, 2) + f(1, 1),但是使用大于1的数字来拆解1没有意义,所以f(1, 4) =f(1, 1),而同样的,f(0, 5)会等于f(0, 0),所以:
f(5) = f(4, 1) + f(3,2) + f(2,3) + f(1,1) + f(0,0)
依照以上的说明,使用动态程式规画(Dynamic programming)来进行求解,其中f(4,1)其实就
是f(5-1, min(5-1,1)),f(x, y)就等于f(n-y, min(n-x, y)),其中n为要拆解的数字,而min()表示取两
者中较小的数。
使用一个二维阵列表格table[x][y]来表示f(x, y),刚开始时,将每列的索引0与索引1元素值设定
为1,因为任何数以0以下的数拆解必只有1种,而任何数以1以下的数拆解也必只有1种:
for(i = 0; i < NUM +1; i++){
table[i][0] = 1; // 任何数以0以下的数拆解必只有1种
table[i][1] = 1; // 任何数以1以下的数拆解必只有1种
}
接下来就开始一个一个进行拆解了,如果数字为NUM,则我们的阵列维度大小必须为NUM x
(NUM/2+1),以数字10为例,其维度为10 x 6我们的表格将会如下所示:
1 1 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0
1 1 2 0 0 0
1 1 2 3 0 0
1 1 3 4 5 0
1 1 3 5 6 7
1 1 4 7 9 0
1 1 4 8 0 0
1 1 5 0 0 0
1 1 0 0 0 0
实作
C
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define NUM 10 // 要拆解的数字
#define DEBUG 0
int main(void) {
int table[NUM][NUM/2+1] = {0}; // 动态规画表格
int count = 0;
int result = 0;
int i, j, k;
printf("数字拆解\n");
printf("3 = 2+1 = 1+1+1 所以3有三种拆法\n");
printf("4 = 3 + 1 = 2 + 2 = 2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1");
printf("共五种\n");
printf("5 = 4 + 1 = 3 + 2 = 3 + 1 + 1");
printf(" = 2 + 2 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 +1 +1 +1");
printf("共七种\n");
printf("依此类推,求%d 有几种拆法?", NUM);
// 初始化
for(i = 0; i < NUM; i++){
table[i][0] = 1; // 任何数以0以下的数拆解必只有1种
table[i][1] = 1; // 任何数以1以下的数拆解必只有1种
}
// 动态规划
for(i = 2; i <= NUM; i++){
for(j = 2; j <= i; j++){
if(i + j > NUM) // 大于NUM
continue;
count = 0;
for(k = 1 ; k <= j; k++){
count += table[i-k][(i-k >= k) ? k : i-k];
}
table[i][j] = count;
}
}
// 计算并显示结果
for(k = 1 ; k <= NUM; k++)
result += table[NUM-k][(NUM-k >= k) ? k : NUM-k];
printf("\n\nresult: %d\n", result);
if(DEBUG) {
printf("\n除错资讯\n");
for(i = 0; i < NUM; i++) {
for(j = 0; j < NUM/2+1; j++)
printf("%2d", table[i][j]);
printf("\n");
}
}
return 0;
}
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