c语言算法 - 贪婪算法 - 0/1背包问题

在0 / 1背包问题中，需对容量为c的背包进行装载。从n个物品中选取装入背包的物品，每件物品i的重量为wi，价值为pi。对于可行的背包装载，背包中物品的总重量不能超过背包的容量，最佳装载是指所装入的物品价值最高，即n ?i=1pi xi 取得最大值。约束条件为n ?i=1wi xi≤c 和xi?[0 , 1]( 1≤i≤n)。

在这个表达式中，需求出xt的值。xi=1表示物品i 装入背包中，xi=0 表示物品i 不装入背包。0 / 1背包问题是一个一般化的货箱装载问题，即每个货箱所获得的价值不同。货箱装载问题转化为背包问题的形式为：船作为背包，货箱作为可装入背包的物品。 例1-8 在杂货店比赛中你获得了第一名，奖品是一车免费杂货。店中有n 种不同的货物。规则规定从每种货物中最多只能拿一件，车子的容量为c，物品i 需占用wi的空间，价值为pi。你的目标是使车中装载的物品价值最大。当然，所装货物不能超过车的容量，且同一种物品不得拿走多件。这个问题可仿照0 / 1背包问题进行建模，其中车对应于背包，货物对应于物品。

0 / 1背包问题有好几种贪婪策略，每个贪婪策略都采用多步过程来完成背包的装入。在每一步过程中利用贪婪准则选择一个物品装入背包。一种贪婪准则为：从剩余的物品中，选出可以装入背包的价值最大的物品，利用这种规则，价值最大的物品首先被装入（假设有足够容量），然后是下一个价值最大的物品，如此继续下去。这种策略不能保证得到最优解。例如，考虑n=2, w=[100,10,10], p=[20,15,15], c=1 0 5。当利用价值贪婪准则时，获得的解为x=[1 , 0 , 0]，这种方案的总价值为2 0。而最优解为[0 , 1 , 1]，其总价值为3 0。

另一种方案是重量贪婪准则是：从剩下的物品中选择可装入背包的重量最小的物品。虽然这种规则对于前面的例子能产生最优解，但在一般情况下则不一定能得到最优解。考虑n=2 ,w=[10,20], p=[5,100], c=2 5。当利用重量贪婪策略时，获得的解为x=[1,0], 比最优解[0 , 1]要差。

还可以利用另一方案，价值密度pi /wi 贪婪算法，这种选择准则为：从剩余物品中选择可

装入包的pi /wi 值最大的物品，这种策略也不能保证得到最优解。利用此策略试解n=3 ,w=[20,15,15], p=[40,25,25], c=30 时的最优解。

我们不必因所考察的几个贪婪算法都不能保证得到最优解而沮丧， 0 / 1背包问题是一个N P-复杂问题。对于这类问题，也许根本就不可能找到具有多项式时间的算法。虽然按pi /wi 非递（增）减的次序装入物品不能保证得到最优解，但它是一个直觉上近似的解。我们希望它是一个好的启发式算法，且大多数时候能很好地接近最后算法。在6 0 0个随机产生的背包问题中，用这种启发式贪婪算法来解有2 3 9题为最优解。有5 8 3个例子与最优解相差1 0 %，所有6 0 0个答案与最优解之差全在2 5 %以内。该算法能在O(nl o gn)时间内获得如此好的性能。我们也许会问，是否存在一个x(x<1 0 0)，使得贪婪启发法的结果与最优值相差在x%以内。答案是否定的。为说明这一点，考虑例子n=2, w=[1 ,y], p=[1 0 , 9y], 和c=y。贪婪算法结果为x=[1,0], 这种方案的值为1 0。对于y≥1 0 / 9，最优解的值为9 y。因此，贪婪算法的值与最优解的差对最优解的比例为(( 9y - 1 0)/9y* 1 0 0) %，对于大的y，这个值趋近于1 0 0 %。但是可以建立贪婪启发式方法来提供解，使解的结果与最优解的值之差在最优值的x%(x<100) 之内。首先将最多k 件物品放入背包，如果这k 件物品重量大于c，则放弃它。否则，剩余的容量用来考虑将剩余物品按pi /wi 递减的顺序装入。通过考虑由启发法产生的解法中最多为k 件物品的所有可能的子集来得到最优解。

例13-9 考虑n=4, w=[2,4,6,7], p=[6,10,12,13], c=11。当k=0时，背包按物品价值密度非递减顺序装入，首先将物品1放入背包，然后是物品2，背包剩下的容量为5个单元，剩下的物品没有一个合适的，因此解为x=[1 , 1 , 0 , 0]。此解获得的价值为1 6。

现在考虑k=1时的贪婪启发法。最初的子集为{1} , {2} , {3} , {4}。子集{1} , {2}产生与k=0时相同的结果，考虑子集{3}，置x3 为1。此时还剩5个单位的容量，按价值密度非递增顺序来考虑如何利用这5个单位的容量。首先考虑物品1，它适合，因此取x1 为1，这时仅剩下3个单位容量了，且剩余物品没有能够加入背包中的物品。通过子集{3}开始求解得结果为x=[1 , 0 , 1 , 0]，获得的价值为1 8。若从子集{4}开始，产生的解为x=[1 , 0 , 0 , 1]，获得的价值为1 9。考虑子集大小为0和1时获得的最优解为[1 , 0 , 0 , 1]。这个解是通过k=1的贪婪启发式算法得到的。

若k=2，除了考虑k< 2的子集，还必需考虑子集{1 , 2} , {1 , 3} , {1 , 4} , {2 , 3} , {2 , 4}和{3 , 4}。首先从最后一个子集开始，它是不可行的，故将其抛弃，剩下的子集经求解分别得到如下结果：[1 , 1 , 0 , 0] , [1 , 0 , 1 , 0] , [1 , 0 , 0 , 1] , [0 , 1 , 1 , 0]和[0 , 1 , 0 , 1]，这些结果中最后一个价值为2 3，它的值比k=0和k=1时获得的解要高，这个答案即为启发式方法产生的结果。 这种修改后的贪婪启发方法称为k阶优化方法（k - o p t i m a l）。也就是，若从答案中取出k 件物品，并放入另外k 件，获得的结果不会比原来的好，而且用这种方式获得的值在最优值的( 1 0 0 /(k + 1)) %以内。当k=1时，保证最终结果在最佳值的5 0 %以内；当k=2时，则在3 3 . 3 3 %以内等等，这种启发式方法的执行时间随k的增大而增加，需要测试的子集数目为O(nk)，每一个子集所需时间为O(n)，因此当k >0时总的时间开销为O(nk+1)。实际观察到的性能要好得多。