C++动态规划

　2010-11-16 13:05:18　来源：WEB开发网　　　

核心提示：算法复杂度分析：算法matrixChain的主要计算量取决于算法中对r，i和k的3重循环，C++动态规划(4)，循环体内的计算量为O(1)，而3重循环的总次数为O(n^3)，空序列是Xi和Yj的最长公共子序列，故此时C[i][j] = 0，因此算法的计算时间上界为O(n^3)，算法所占用的空间显然为O(n^2)

算法复杂度分析：

算法matrixChain的主要计算量取决于算法中对r，i和k的3重循环。循环体内的计算量为O(1)，而3重循环的总次数为O(n^3)。因此算法的计算时间上界为O(n^3)。算法所占用的空间显然为O(n^2)。

动态规划算法的基本要素

一、最优子结构

矩阵连乘计算次序问题的最优解包含着其子问题的最优解。这种性质称为最优子结构性质。

在分析问题的最优子结构性质时，所用的方法具有普遍性：首先假设由问题的最优解导出的子问题的解不是最优的，然后再设法说明在这个假设下可构造出比原问题最优解更好的解，从而导致矛盾。

利用问题的最优子结构性质，以自底向上的方式递归地从子问题的最优解逐步构造出整个问题的最优解。最优子结构是问题能用动态规划算法求解的前提。

同一个问题可以有多种方式刻划它的最优子结构，有些表示方法的求解速度更快（空间占用小，问题的维度低）

二、重叠子问题

递归算法求解问题时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题被反复计算多次。这种性质称为子问题的重叠性质。

动态规划算法，对每一个子问题只解一次，而后将其解保存在一个表格中，当再次需要解此子问题时，只是简单地用常数时间查看一下结果。

通常不同的子问题个数随问题的大小呈多项式增长。因此用动态规划算法只需要多项式时间，从而获得较高的解题效率。

三、备忘录方法

备忘录方法的控制结构与直接递归方法的控制结构相同，区别在于备忘录方法为每个解过的子问题建立了备忘录以备需要时查看，避免了相同子问题的重复求解。

实现（见矩阵连乘源码）

实例二、最长公共子序列

　若给定的序列X = {x1,x2,…,xm},则另一序列Z = {z1,z2,…,zk}，是X的子序列是指存在一个严格下表序列{i1,i2,…,ik}使得对于所有的j = 1,2,…k有zj = xij。例如，序列Z = {B,C,D,B}是序列X = {A,B,C,B,D,A,B}的子序列，相应的递增下标序列为{2,3,5,7}。

给定2个序列X和Y，当另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时，称Z是序列X和Y的公共子序列。

问题表述：给定2个序列X={x1,x2,…,xm}和Y = {y1,y2,…,yn}，找出X和Y的最长公共子序列。

最长公共子序列的结构

设序列X = {x1,x2,…,xm}和Y = {y1,y2,…,yn}的最长公共子序列为Z = {z1,z2,…,zk} ，则

(1)若xm = yn，则zk = xm = yn，且z(k-1)是x(m-1)和y(n-1)的最长公共子序列。

(2)若xm != yn且zk != xm，则Z是x(m-1)和Y的最长公共子序列。

(3)若xm != yn且zk != yn，则Z是X和y(n-1)的最长公共子序列。

由此可见，2个序列的最长公共子序列包含了这2个序列的前缀的最长公共子序列。因此，最长公共子序列问题具有最优子结构性质。

子问题的递归结构

由最长公共子序列问题的最优子结构性质建立子问题最优值的递归关系。用c[i][j]记录序列Xi和Yi的最长公共子序列的长度。其中， Xi={x1,x2,…,xi}；Yj={y1,y2,…,yj}。当i = 0或j = 0时，空序列是Xi和Yj的最长公共子序列。故此时C[i][j] = 0。其它情况下，由最优子结构性质可建立递归关系如下：

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