TSP递归程序的优化

核心提示：程序设计中，有一种非凡的程序??递归程序，TSP递归程序的优化，递归程序是直接调用自己或通过一系列的过程间接调用自己的程序，递归程序在程序设计中经常出现，因此应事先决定是否采用递归程序来解决自己的问题，即使如此，因此应该学会使用递归程序求解问题，但递归程序运行的效率一般都比较低

　　程序设计中，有一种非凡的程序??递归程序，递归程序是直接调用自己或通过一系列的过程间接调用自己的程序。递归程序在程序设计中经常出现，因此应该学会使用递归程序求解问题，但递归程序运行的效率一般都比较低，因此应对递归程序进行优化。

　　下面结合旅行家问题谈谈递归的优化。

　　一．递归程序的实现

　　旅行家问题如下：旅行家要旅行N个城市，要求各个城市经历且仅经历一次，并要求所走的路程最短。该问题又称为货郎担问题、邮递员问题、售货员问题，是有名的N?P难题之一。在N很大时，并不采用本文所用的递归遍历方法，而是采用其他方法，如神经网络、遗传算法等，得到问题的解。

　　要得到N个城市依次经历的最短路径，应把各个对N个城市的经历所经过的路程相比较，选出其中的最小值作为返回结果。

　　用递归程序解决旅行家问题时，思路与循环方法一样：找出各种可能的经历顺序，比较在各个顺序下所走的路程，从中找出最短路程所对应的经历顺序。该问题中如何通过递归得到对所有可能路径的经历应作为重点，而对路程的计算、比较、更新与循环方法类似。在该问题的递归调用中，第n对第n-1层传递过来的已经经历的城市进行判定，以决定是否已经遍历，假如N个城市已经遍历，则计算、比较、更新路程，然后向上一层返回；假如没有遍历，则选择一个未经历的城市加入已经历的城市并一同传递给第n+1层。在这里，第n层调用传入的参数可以看成已经经历的城市和已确定的最短路程，返回的结果可以看成经更新的最短路程与经历顺序。

　在java中定义一个类

　　ClassCities

　　{
　　
　　PRivateint[][]cities；//各城市表示为（X,Y）X,Y为0到99之间的值
　　
　　privateint[]shortestPath；//保存最短路程对应的经历顺序
　　
　　privateintnum；//保存N（城市个数）
　　
　　privatelongshortestLength=100000000；//N个城市遍历时可能最大路程
　　
　　privatelonggetLength(int[]tPath){．．．}//计算以tPath为经历顺序的路程
　　
　　publicCities(intn)//构造n个城市的坐标，假设为0到99之间的随机数
　　
　　{
　　
　　．．．
　　
　　}
　　
　　publicint[]getShortestPath()//获得最短路径
　　
　　{
　　
　　int[]tempPath=newint[num]；
　　
　　shortestPath=newint[num]；
　　
　　int[]citiesToured=newint[num]；//保存第I个城市是否已经经历
　　
　　intcitiesNum=0；//已经经历城市的个数
　　
　　for(inti=0；i<num；i++)
　　
　　citiesToured[i]=0；
　　
　　goThrough(tempPath,citiesNum,citiesToured)；//遍历各城市
　　
　　for(inti=0；i<num；i++)
　　
　　tempPath[i]=shortestPath[i]；//得到遍历顺序
　　
　　returntempPath；//返回结果
　　
　　}
　　
　　privatevoidgoThrough(int[]tPath,intcNum,int[]cToured)//遍历N个城市
　　
　　{
　　
　　if(cNum==0)//无经历城市时，选择第1个城市
　　
　　{
　　
　　cNum++；
　　
　　tPath[0]=0；

　　cToured[0]=1；
　　
　　goThrough(tPath,cNum,cToured)；
　　
　　}
　　
　　elseif(cNum==num)//各个城市已经经历，结束
　　
　　{
　　
　　longtempLength=getLength(tPath)；//计算此经历顺序所走的路程
　　
　　if(tempLength<shortestLength)//比较路程
　　
　　{
　　
　　shortestLength=tempLength；//更新最短路程及其经历顺序
　　
　　for(inti=0；i<num；i++)
　　
　　shortestPath[i]=tPath[i]；
　　
　　}
　　
　　}
　　
　　else
　　　　
　　{

　for(inti=0；i<num；i++)
　　
　　if(cToured[i]!=1)//选择未经历的城市
　　
　　{
　　
　　cToured[i]=1；//加入已经历城市
　　
　　tPath[cNum]=i；
　　
　　cNum++；//已经历城市个数+1
　　
　　goThrough(tPath,cNum,cToured)；//调用下一层
　　
　　cToured[i]=0；//恢复本层的状态：
　　
　　cNum--；//已经历城市及个数
　　
　　}//Endifinfor(i)
　　
　　}//Endelse
　　
　　}
　　
　　
　　
　　privatelonggetLength(int[]tPath)//以指定顺序计算遍历路程
　　
　　{
　　
　　longlength=0；//路程
　　
　　intnowPoint=0；//当前城市，第一次取0
　　
　　for(inti=1；i<num；i++)
　　
　　{
　　
　　intj=tPath[i]；
　　
　　length+=(long)Math.sqrt((cities[j][0]-cities[nowPoint][0])*(cities[j][0]-cities[nowPoint][0])+(cities[j][1]-cities[nowPoint][1])*(cities[j][1]-cities[nowPoint][1]))；//加上当前、下一城市间的距离
　　
　　nowPoint=j；//更新当前城市
　　
　　}
　　
　　length+=(long)Math.sqrt((cities[0][0]-cities[nowPoint][0])*(cities[0][0]-cities[nowPoint][0])+(cities[0][1]-cities[nowPoint][1])*(cities[0][1]-cities[nowPoint][1]))；//加上首尾城市间的距离
　　
　　returnlength；

　　}
　　
　　}//Cities类定义结束
　　
　　在这里使用递归，实现了对N可变时问题的求解。
　　
　　三．递归程序的优化

　　递归程序的优化是程序优化的一种，具有程序优化的一般性，同时更应考虑它的非凡性。递归程序优化中应主要着眼尽快结束递归，避免无谓的调用，因为结束得越早，程序所付出的代价就越小。
　　
　　在旅行家问题中，对城市的遍历goThrough函数是递归程序，下面讨论对它的优化。
　　
　　Ⅰ．该问题的第一次优化：各个城市之间的距离在Cities类构造时就已经确定，而每一次遍历各个城市后，getLength函数都要计算一次相邻两城市及首尾城市间的距离，显然城市间距离的计算只要进行一次就可以了。因此可以定义一个函数InitDistance，在构造函数Cities()中调用，并重新定义getLength函数，直接对相邻及首尾城市的距离取和。如下：
　　
　　1．类中增加属性privatelong[]distance；//在InitDistance方法中构造
　　
　　2．定义私有方法privatevoidInitDistance()//计算各个城市之间的距离（由于仅计算一次，故未优化）
　　
　　privatevoidInitDistance()
　　
　　{
　　
　　distance=newlong[num][num];
　　
　　for(inti=0；i<num；i++)
　　
　　for(intj=0；j<num；j++)
　　
　　{
　　
　　if(i==j)
　　
　　distance[i][j]=0L；
　　
　　else
　　
　　distance[i][j]=(long)Math.sqrt(
　　
　　(cities[i][0]-cities[j][0])*(cities[i][0]-cities[j][0])+(cities[i][1]-cities[j][1])*(cities[i][1]-cities[j][1]))；
　　
　　}
　　
　　}
　　
　　3．重新定义getLength
　　
　　privatelonggetLength(int[]tPath)
　　
　　{
　　
　　longlength=0L；
　　
　　for(inti=1；i<num；i++)
　　
　　length+=distance[tPath[i-1]][tPath[i]]；
　　
　　length+=distance[tPath[0]][tPath[num-1]]；
　　
　　returnlength；
　　
　　}

　　4．重新定义构造函数Cities(intr)
　　
　　publicCities(intr)
　　
　　{．．．
　　　　
　　InitDistance()；//计算各个城市间的距离
　　
　　}

　Ⅱ．该问题的第二次优化：考虑下面的情况，经历顺序为1?2?3?4?5?6?与1?2?3?4?6?5?二者中前四个城市经历顺序相同，可以定义一个变量来保存已经历的路程，只有在经历顺序改变的时候才对已经历的路程进行更新。进行如下优化：
　　
　　1．增加privatelongtouredLength属性并初始化为0，用来记录到“目前”为止所经历的路程。
　　
　　2．重新定义goThrough
　　
　　privatevoidgoThrough(int[]tPath,intcNum,int[]cToured)
　　
　　{
　　
　　．．．//同上

　　elseif(cNum==num)
　　
　　{
　　
　　longtL=touredLength+distance[tPath[num-1]][tPath[0]]；▲//tL记录已经历的路程
　　
　　（用▲标志改进点，下同）
　　
　　if(tL<shortestLength)
　　
　　{
　　
　　shortestLength=tL；
　　
　　for(inti=0;i<num;i++)
　　
　　shortestPath[i]=tPath[i]；
　　
　　}

　　}
　　
　　else//0<citiesNum<N
　　
　　{
　　
　　for(inti=0；i<num；i++)
　　
　　if(cToured[i]!=1)//NotToured
　　
　　{
　　　　
　　tPath[cNum]=I；
　　
　　cToured[i]=1；
　　
　　touredLength+=distance[tPath[cNum-1]][i]；▲
　　
　　cNum++；
　　
　　goThrough(tPath,cNum,cToured)；
　　
　　cNum--；
　　
　　touredLength-=distance[tPath[cNum-1]][i]；▲
　　
　　cToured[i]=0；
　　
　　}
　　
　　}
　　
　　}

　　3．去除getLength。
　　
　　Ⅲ．该问题的第二次优化：进一步考虑对路程的计算，设想下面的情况：N=5，已经历了2个城市，且旅行路程为200，目前已知的最短路程为260，而其他三个城市的任意两个城市之间的距离大于30。在这种情况下，再继续遍历只是徒劳，此时就可以结束调用返回。针对这种情况，如下优化：
　　
　　1．增加属性privatelongshortestDistance[]，来保存城市之间的最短距离，次最短距离，次次最短距离，．．．，并在InitDistance中得到各距离的值。
　　
　　privatevoidInitDistance()
　　
　　{
　　
　　．．．
　　
　　shortestDistance=newlong[num+1]；
　　　　
　　shortestDistance[0]=0；

　　for(inti=0；i<num；i++)

　　{

　　longdis=10000L；
　　
　　for(intj=i+1；j<num；j++)
　　
　　if(distance[i][j]<dis)
　　
　　dis=distance[i][j]；
　　
　　shortestDistance[i+1]=shortestDistance[i]+dis；
　　
　　}
　　
　　}
　　
　　2．更新goThrough
　　
　　privatevoidgoThrough(int[]tPath,intcNum,int[]cToured)
　　
　　{
　　
　　．．．
　　
　　elseif(cNum==num)
　　
　　{
　　
　　longtL=touredLength+distance[tPath[num-1]][tPath[0]]；
　　
　　if(tL<shortestLength)
　　
　　{

　　shortestLength=tL；
　　
　　for(inti=0；i<num；i++)
　　
　　shortestPath[i]=tPath[i]；
　　
　　}
　　
　　}
　　
　　else//0<citiesNum<num
　　
　　{
　　
　　if(touredLength+shortestDistance[num-cNum]<shortestLength)▲
　　
　　//假如已经历的路程+可能的最短路程>已知的最短路程，则不再继续走下去
　　
　　{
　　
　　for(inti=0；i<num；i++)
　　
　　if(cToured[i]!=1)//NotToured
　　
　　{
　　
　　tPath[cNum]=i；
　　
　　cToured[i]=1；
　　
　　touredLength+=distance[tPath[cNum-1]][i]；

　　cNum++；
　　　　
　　goThrough(tPath,cNum,cToured)；

　　cNum--；
　　
　　touredLength-=distance[tPath[cNum-1]][i]；
　　
　　cToured[i]=0；
　　
　　}
　　
　　}
　　
　　}
　　
　　}
　　
　　比较各种优化方法的求解时间，得到下表的数据（Windows98，PIII550，128M）：

方案 问题规模 N=10 N=12
仅用citiesToured 1850毫秒 220000毫秒
引入distance改进getLength 390毫秒 48200毫秒
引入touredLength,去除getLength 100毫秒 1000毫秒
引入shortestDistance 不足1毫秒 100毫秒

从以上数据可以得出结论：递归程序一般都有很大的优化空间，递归程序经过优化后，可以在很大程度上提高程序的效率。经过优化的程序既保留了递归程序简单易读的特点，又在一定程度上弥补了程序时间效率低的不足。

同时，也可以看出递归程序的先天缺陷，在现实中大规模的旅行商问题递归程序是无法解决的（在可以接受的时间内），普遍采用的是遗传算法来解决，因此应事先决定是否采用递归程序来解决自己的问题。即使如此，本文对于可以应用的递归程序来讲也具有一定的参考意义。