坐标变换

核心提示：２、如何根据坐标架生成变换矩阵矩阵在图形程序中应用十分广泛，它可以表达更复杂的变换形式，坐标变换(2)，这里所指的矩阵是左乘矩阵，即矩阵位于点的左边，我们把点也搞成了齐次形式，位的是更好的向 4*4 矩阵迈进，我们可以用一个矩阵来代表从坐标架外到坐标架中的变换，也可以用一个矩阵代表从坐标架之中到坐标架之外的变换

２、如何根据坐标架生成变换矩阵

矩阵在图形程序中应用十分广泛。它可以表达更复杂的变换形式。这里所指的矩阵是左乘矩阵，即矩阵位于点的左边。

我们可以用一个矩阵来代表从坐标架外到坐标架中的变换，也可以用一个矩阵代表从坐标架之中到坐标架之外的变换。下面的 mat 是按照行优先规则存放的矩阵。从坐标架中变换到坐标架外 frame->WC 的矩阵如下 frame->WC 变换矩阵：

mat[0] = OX.x;　　mat[1] = OY.x;　　mat[2] =　OZ.x;　　mat[3] = Oc.x;
mat[4] = OX.y;　　mat[5] = OY.y;　　mat[6] =　OZ.y;　　mat[7] = Oc.y;
mat[8] = OX.z;　　mat[9] = OY.z;　　mat[10] = OZ.z;　　mat[11] = Oc.z;
mat[12] = 0;　　mat[13] = 0;　　mat[14] = 0;　　mat[15] = 1;

其中，OX, OY, OZ 是坐标架的三个基矢量，Oc 是坐标架的坐标原点。我们将这个矩阵乘以点 p(x,y,z,1)

p1 = mat*p;

我们可以得到 p1 就是 WC 坐标系下面的点。下面是这个矩阵的推导过程，如果觉得头大，可以跳过去。

推导过程：

首先我们来看上面得到的根据一个坐标架，从坐标架内转换到坐标架外的公式：

Px 是被转换的点，P1 是转换后的点。为了书写方便，我们把 frame.OX 写成 OX，其余类推。于是得到：

这个公式已经可以看到矩阵的影子了。为了进一步向 4*4 的矩阵靠近，我们采用齐次形式：

我们把它逐渐展开，我们就得到了这一大堆东西，这下子矩阵相乘的形式出来了。这里的 4*4 的矩阵，就是上面的 mat 数组。

搞定了 frame->WC 的矩阵，我们现在来搞 WC->frame 的矩阵，

WC->frame 变换矩阵：

mat[0] = OX.x;　　mat[1] = OX.y;　　mat[2] =　OX.z;　　mat[3] = -(Oc.x*OX.x + Oc.y*OX.y + Oc.z*OX.z);
mat[4] = OY.x;　　mat[5] = OY.y;　　mat[6] =　OY.z;　　mat[7] = -(Oc.x*OY.x + Oc.y*OY.y + Oc.z*OY.z);
mat[8] = OZ.x;　　mat[9] = OZ.y;　　mat[10] = OZ.z;　　mat[11] = -(Oc.x*OZ.x + Oc.y*OZ.y + Oc.z*OZ.z);
mat[12] = 0;　　mat[13] = 0;　　mat[14] = 0;　　mat[15] = 1;

写代码的时候把这一堆抄过去就行了。如果不想看推导，就跳过下面的部分。

推导过程：

同样的我们根据上面的式子出发进行推导：

在这里，我们把点也搞成了齐次形式，位的是更好的向 4*4 矩阵迈进。我们继续拆解上面第二个式子的右面部分

其实也很容易出来（不过炮炮是想了很长时间才想出来的：）。