迭代算法与递归算法的概念及区别

核心提示：迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法，它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，迭代算法与递归算法的概念及区别，让计算机对一组指令(或一定步骤)进行重复执行，在每次执行这组指令(或这些步骤)时，但迭代公式选择不当，或迭代的初始近似根选择不合理，都从变量的原值推出它的一个新值，利用迭代算法解决问题

迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令(或一定步骤)进行重复执行，在每次执行这组指令(或这些步骤)时，都从变量的原值推出它的一个新值。

利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：

一、确定迭代变量。在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。

二、建立迭代关系式。所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式(或关系)。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。

三、对迭代过程进行控制。在什么时候结束迭代过程?这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地重复执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来;另一种是所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制;对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。

例 1 ： 一个饲养场引进一只刚出生的新品种兔子，这种兔子从出生的下一个月开始，每月新生一只兔子，新生的兔子也如此繁殖。如果所有的兔子都不死去，问到第 12 个月时，该饲养场共有兔子多少只?

分析： 这是一个典型的递推问题。我们不妨假设第 1 个月时兔子的只数为 u 1 ，第 2 个月时兔子的只数为 u 2 ，第 3 个月时兔子的只数为 u 3 ，……根据题意，“这种兔子从出生的下一个月开始，每月新生一只兔子”，则有

以下是引用片段：
u1=1，u2=u1+u1×1=2，u3=u2+u2×1=4，……
　　根据这个规律，可以归纳出下面的递推公式：
以下是引用片段：
　　un=un-1×2(n≥2)
　　对应 u n 和 u n - 1 ，定义两个迭代变量 y 和 x ，可将上面的递推公式转换成如下迭代关系：

以下是引用片段：
　　y=x*2
　　x=y
　　让计算机对这个迭代关系重复执行 11 次，就可以算出第 12 个月时的兔子数。参考程序如下：

以下是引用片段：
　　cls
　　x=1
　　fori=2to12
　　y=x*2
　　x=y
　　nexti
　　printy
　　end
　　例 2 ： 阿米巴用简单分裂的方式繁殖，它每分裂一次要用 3 分钟。将若干个阿米巴放在一个盛满营养参液的容器内， 45 分钟后容器内充满了阿米巴。已知容器最多可以装阿米巴 2 20 个。试问，开始的时候往容器内放了多少个阿米巴?请编程序算出。

分析： 根据题意，阿米巴每 3 分钟分裂一次，那么从开始的时候将阿米巴放入容器里面，到 45 分钟后充满容器，需要分裂 45/3=15 次。而“容器最多可以装阿米巴 2 20 个”，即阿米巴分裂 15 次以后得到的个数是 2 20 。题目要求我们计算分裂之前的阿米巴数，不妨使用倒推的方法，从第 15 次分裂之后的 2 20 个，倒推出第 15 次分裂之前(即第 14 次分裂之后)的个数，再进一步倒推出第 13 次分裂之后、第 12 次分裂之后、……第 1 次分裂之前的个数。

设第 1 次分裂之前的个数为 x 0 、第 1 次分裂之后的个数为 x 1 、第 2 次分裂之后的个数为 x 2 、……第 15 次分裂之后的个数为 x 15 ，则有

以下是引用片段：
　　x14=x15/2、x13=x14/2、……xn-1=xn/2(n≥1)
　　因为第 15 次分裂之后的个数 x 15 是已知的，如果定义迭代变量为 x ，则可以将上面的倒推公式转换成如下的迭代公式：
　　x=x/2 ( x 的初值为第 15 次分裂之后的个数 2 20 )

让这个迭代公式重复执行 15 次，就可以倒推出第 1 次分裂之前的阿米巴个数。因为所需的迭代次数是个确定的值，我们可以使用一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制。参考程序如下：

以下是引用片段：
　　cls
　　x=2^20
　　fori=1to15
　　x=x/2
　　nexti
　　printx
　　end
　　例 3 ： 验证谷角猜想。日本数学家谷角静夫在研究自然数时发现了一个奇怪现象：对于任意一个自然数 n ，若 n 为偶数，则将其除以 2 ;若 n 为奇数，则将其乘以 3 ，然后再加 1 。如此经过有限次运算后，总可以得到自然数 1 。人们把谷角静夫的这一发现叫做“谷角猜想”。

要求：编写一个程序，由键盘输入一个自然数 n ，把 n 经过有限次运算后，最终变成自然数 1 的全过程打印出来。

分析： 定义迭代变量为 n ，按照谷角猜想的内容，可以得到两种情况下的迭代关系式：当 n 为偶数时， n=n/2 ;当 n 为奇数时， n=n*3+1 。用 QBASIC 语言把它描述出来就是：

以下是引用片段：
　　ifn为偶数then
　　n=n/2
　　else
　　n=n*3+1
　　endif
　　这就是需要计算机重复执行的迭代过程。这个迭代过程需要重复执行多少次，才能使迭代变量 n 最终变成自然数 1 ，这是我们无法计算出来的。因此，还需进一步确定用来结束迭代过程的条件。仔细分析题目要求，不难看出，对任意给定的一个自然数 n ，只要经过有限次运算后，能够得到自然数 1 ，就已经完成了验证工作。因此，用来结束迭代过程的条件可以定义为： n=1 。参考程序如下：

以下是引用片段：
　　cls
　　input"Pleaseinputn=";n
　　dountiln=1
　　ifnmod2=0then
　　rem如果n为偶数，则调用迭代公式n=n/2
　　n=n/2
　　print"—";n;
　　else
　　n=n*3+1
　　print"—";n;
　　endif
　　loop
　　end
　　迭代法
　　迭代法是用于求方程或方程组近似根的一种常用的算法设计方法。设方程为f(x)=0，用某种数学方法导出等价的形式x=g(x)，然后按以下步骤执行：

(1) 选一个方程的近似根，赋给变量x0;

(2) 将x0的值保存于变量x1，然后计算g(x1)，并将结果存于变量x0;

(3) 当x0与x1的差的绝对值还小于指定的精度要求时，重复步骤(2)的计算。

若方程有根，并且用上述方法计算出来的近似根序列收敛，则按上述方法求得的x0就认为是方程的根。上述算法用C程序的形式表示为：

【算法】迭代法求方程的根

以下是引用片段：
　　{x0=初始近似根;
　　do{
　　x1=x0;
　　x0=g(x1);/*按特定的方程计算新的近似根*/
　　}while(fabs(x0-x1)>Epsilon);
　　printf(“方程的近似根是%f
”，x0);
　　}
　　迭代算法也常用于求方程组的根，令

X=(x0，x1，…，xn-1)

设方程组为：

xi=gi(X) (I=0，1，…，n-1)

则求方程组根的迭代算法可描述如下：

【算法】迭代法求方程组的根

以下是引用片段：
　　{for(i=0;i
　　x=初始近似根;
　　do{
　　for(i=0;i
　　y=x;
　　for(i=0;i
　　x=gi(X);
　　for(delta=0.0,i=0;i
　　if(fabs(y-x)>delta)delta=fabs(y-x);
　　}while(delta>Epsilon);
　　for(i=0;i
　　printf(“变量x[%d]的近似根是%f”，I，x);
　　printf(“
”);
　　}
　　具体使用迭代法求根时应注意以下两种可能发生的情况：

(1) 如果方程无解，算法求出的近似根序列就不会收敛，迭代过程会变成死循环，因此在使用迭代算法前应先考察方程是否有解，并在程序中对迭代的次数给予限制;

(2) 方程虽然有解，但迭代公式选择不当，或迭代的初始近似根选择不合理，也会导致迭代失败。